** Une suite auxiliaire (3)

$(u_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$  est la suite définie par  $u_0=2$  et pour tout  $n\in \mathbb{N}$ ,  $u_{n+1}={\displaystyle \frac{u_n}{3u_n+1}}$ .

On admet que la suite est bien définie, soit,   pour tout  $n\in \mathbb{N}$ , $u_n\ne -\frac{1}{3}$ et, plus généralement, on admet que, pour tout  $n\in \mathbb{N}$ , $u_n>0$ .

La suite $(v_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$  est définie pour tout  $n\in \mathbb{N}$  par :  $v_n={\displaystyle \frac{1}{u_n}}$ . 

1. Calculer $u_1,u_2\text{ et }{u}_3$  puis  $v_1,v_2\text{ et }{v}_3$ .  

2. Démontrer que la suite  $(v_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$   est arithmétique et préciser son premier terme et sa raison.

3. Donner le terme général de  $(v_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ .

4. En déduire que, pour tout  $n\in \mathbb{N}$ ,  $u_n={\displaystyle \frac{2}{1+6n}}$ .